这日兰娅教算时，用回文在沙盘上写下“金字塔笔算”，又写了一题“尼罗河田亩丈量”。前题是求胡夫金字塔的土石方（按：相当于立体几何），后题是求尼罗河边开垦田亩的大小。这两题都出自希腊人欧几里得司的《几何原本》，兰娅让梁萧译出后解答。
梁萧若以中土算法破解，原本十分容易，可用希腊算法解答，别有一番困难。希腊算法迥异中土，中土算法十分冗杂，希腊算法却力求简捷优美、论理缜密。用兰娅的话说：“中土的数术，好比零珠片玉，让人看来眼花缭乱；希腊的数术却是串好的明珠项链，虽然未必如中土漂亮，但颗颗都能放在最适当的地方。”她说来轻易，梁萧却花了十多天工夫，方才掌握希腊算学的诀窍。
他连估带猜，将“金字塔笔算”算出，吃惊道：“这尖塔庞大无比，却是用来做什么的？”兰娅道：“是埃及法老的陵墓。”便将埃及的风土人情一一说了。阿雪在一旁呆得气闷，忽听兰娅说出这般趣事，好不高兴，兰娅稍一停顿，她就连声催问：“还有呢？还有呢？”
待得兰娅说完，梁萧想象异域风情，不由叹道：“费千万人之功，修一人之坟。这些埃及法老，与我们中土的秦始皇差不多了！”阿雪笑道：“哥哥，等你打完仗，报了仇，我们去埃及好吗？去兰娅姐姐说的金字塔，还有那个立在海边的大灯塔（按：即法洛斯灯塔，古代世界七大奇迹之一，曾矗立于埃及亚历山大港，十三世纪被毁）！”
梁萧笑道：“好是好，可去了钦察，又去埃及，等咱们走到金字塔下，都成老头老太啦！”阿雪笑而不语，心想：“若能跟哥哥这样走一辈子，阿雪也没白活了！”
兰娅瞧着阿雪，忽用回回语道：“梁萧，你妹子真可爱，但她身上的鞭痕怎么回事呢？”她这问题藏了许久，终于忍不住说出来。梁萧苦笑一下，也以回回语作答，结结巴巴将经过说了。阿雪听他二人叽里咕噜说话，只当二人研讨算学，也不疑有他。
兰娅听了，沉吟道：“她是女孩儿家，身上满是伤痕，将来可不好看。”这话戳中梁萧心底痛处，他面红耳赤，无语以对。兰娅翠眉微挑，笑了笑说道：“我这里有个药方，若配好了药涂抹几个月，再难看的伤疤也能祛除。”梁萧惊喜交迸，搓手道：“兰娅，兰娅，这，这……”想要恳求，又有些难以开口。
兰娅抿嘴一笑，找来纸笔，将药方写出，忽又皱眉道：“这是老师以前炼金时得到的，用料十分昂贵，若非富有无比，很难配齐。我去求求阿爸，看能否筹措到足够钱财。”
梁萧细看药方，尽是赤金美玉、宝石珍珠、豹胎灵芝等珍物。他生性骄傲，不肯轻易受人恩惠，便道：“得了这帖药方，我已极承你的情了，至于药物，我自己想法配齐。”兰娅打量他一眼，将信将疑，欲待劝说，忽听帐外马蹄声响。阿术的亲兵钻进来，梁萧丢了沙盘，问道：“有战事吗？”亲兵道：“今夜阿里海牙大人突袭浮桥，元帅让你去看。”梁萧颔首起身，兰娅说道：“我也去！”
三人驰马赶到江边，早有小舟在岸边接引。弃舟登上战船，领军大将都在船上，隐见伯颜面色凝重，目视前方。此时天上黑云重重，将星月裹着其中，丝毫光亮也难脱出。忽然间，远处的战船上传来低微的号令声，只听哗哗水响，两百名元军死士抱着大革囊，跳进水里，静悄悄向浮桥漂去。
这革囊叫做“浑脱”，也叫“囫囵脱”，是以独特手法，将羊皮整个儿脱下来。这样脱下的羊皮，只有六个孔：羊脖子、四蹄和尾巴，缝好后可装酒盛水。这种“浑脱”，蒙古骑兵远征时一定佩戴，平时装进水酒，遇上大河激流，便吹胀了捆在一起，结成羊皮筏子泅渡。当年，成吉思汗的大军便是人手两个“浑脱”，扫南荡北，灭了无数国家；元皇帝忽必烈征讨大理国时，也是凭借“浑脱”横渡湍急无比的澜沧江，一举征服大理。
这次突袭，每个元军死士身下都有三个“浑脱”，两个充气，一个装满火油。不到一个时辰，便绕过宋军设下的横江铁索。
元军战船上人人屏息，宋军警戒船只似无所觉。不一会儿，革囊离浮桥不及二十丈，许多水军发出低低的欢呼声。便在这时，忽听桥畔铃铛大作，伯颜低叫：“糟糕！”其他的将领无不变了脸色。
顷刻间，元军死士发觉自己陷入了一大片渔网，网上生了无数倒钩，鱼网两端还挂满铃铛，一旦牵扯，顿时响个不停。
城上闻讯，两岸火光大起，宋军将士看见元军在渔网中挣扎，无不大笑，继而乱箭齐发。转眼间，两百来人死伤惨重。但这次所选的死士十分悍勇，到了如此不利境地，仍有五十多人冒着矢石，拼命趟过渔网，爬上浮桥。待得上桥，死士们纷纷拔出佩刀，刺破装油的“浑脱”，将火油倾在桥上，打燃火折，放火焚桥。
忽见襄樊城门大开，百十宋军自两侧冲上浮桥，一拨举枪舞刀，来斗元人，另一拨提着木桶救火。元军也分为三拨，一队元军举刀迎敌，另一队张开革囊，阻挡弓箭，剩下一队解下背上大锤，奋力敲打支撑浮桥的木桩。片刻敲垮数根，“轰隆”一