都是专门从事天文台官员的儿子，太史王恂问他们有关算数的问题，他们都不能对，只有齐履谦能随问随答，王恂感到非常吃惊。新历编纂完成，又准备修订《历经》、《历议》。二十九年，授星历完成后向全国颁布施行。齐履谦作出了很大的贡献。
至治元年，齐履谦被提升为太史院使。泰定二年九月，以官员的身份奉奉命视察江西、福建，黜罢官吏之贪污者四百多人，蠲免括地虚加粮数万石，州县以先贤子孙充房夫等相关人员都被解职。福建宪司职田，每亩年上交输米三石，老百姓很困苦。齐履谦下令减免令，因此引起了朝廷的埋怨，他还京后，监察部门果然诬告他。不久，诬齐履谦者都因为其他事件被免职，齐履谦才得始得平反，后又担任了太史院使。
齐履谦从小勤奋好学，家里贫穷无书可读。他担任星历官员后，在太史局，意外地获得了秘书监辇死亡后留下许多宋朝的旧书，被放置在本院，因此他就趁机昼夜讽诵，深入研究，取得了很大的收获，因此得以博学精通，上自六经、诸史、天文、地理、礼乐、律历，下至阴阳五行、医药、卜筮，无不通晓，尤其精通经史典籍。
到了至元二十九年的时候，由于他的独特才能，受到朝廷的重用，被授予星历教授的官职，到了大德二年，又提拔为保章正的官职，到了至大三年，升任侍郎，副部长，兼管冬官正事的事务。
元仁宗爱育黎拔力八达继承皇位后，下令用研究学问，身体力行，率先垂范，谦虚好学，道德高尚等等信条，教育和培养国子学的学生。下令吴澄等人对学校进行有效管理，培养人才。要求学生每天凌晨五鼓时间，就进入学校学习，纵使是刮风下雨，严寒和酷暑，都不得中断学习，稍有倦怠。
吴澄，字幼清，是抚州地方的人，他宋朝的末年，多次参与朝廷举行的进士考试，但是都没有考取。后来就隐居在布水谷，坚持读书和著述，博得了很大的博得了很大的名声。在至元年中，也曾经被曾召唤到燕京城，皇帝想授予他的官职，吴澄却不想干，就向皇帝乞求回家，赡养年老的母亲，就辞去了朝廷，返回故乡。
吴澄宋度宗咸淳六年，1270年﹐应乡贡中选﹔次年﹐就试礼部，考试失败。在乡里开门办学，修建了一所草屋居住，题名“草庐”，因此被人们称为草庐先生。进入元朝后，避兵乱隐居乐安布水谷﹐从事著述﹐至元二十年，1283年又回到草庐居住。
二十三年﹐程巨夫奉诏到江南网罗人才﹐他跟随着到了大都﹐不久即辞辞职回家。元贞年间﹐在龙兴讲学，今江西南昌﹐为江西行省左丞董士选所赏识﹐推荐到朝廷，其他书友正在看:。大德五年，1301年﹐授应奉翰林文字﹐次年至京城﹐而那个职务已经改授他人﹐就返回南方。
八年﹐被任为江西等处儒学副提举﹐迁延不赴﹐後称病辞职。至大元年，1308年﹐授国子监丞﹔四年﹐升司业。当时国子监学官只知踵袭许衡成法﹐教学止於朱熹《小学》﹑《四拉牛牛﹐年年如此﹐毫无进步。吴澄到任后实行改革﹐亲自执教﹐辨析诸家传注的得失﹐融会不同学派的学说﹐并拟定教法﹐分经学﹑行实﹑文艺﹑治事四门﹐扩大了教学内容。
皇庆元年，1312年﹐辞职还家。次年﹐集贤院奏请召为国子祭酒﹐反对者指责他为陆学﹐不合许衡尊信朱子之义﹐不可为国子师﹐于是作罢。延祐五年，1318年﹐授翰林直学士﹐遣虞集驰驿召入朝﹐中途因病不行。
至治三年，1323年﹐超拜翰林学士﹐复遣近臣至其家征召﹐乃入京。泰定元年，1324年﹐被任命为经筵讲官﹐复命修《英宗实录》。二年﹐《实录》完成后﹐辞官南归。晚年仍致力於著述﹑讲学﹐南北士人来从跟随他学习的人很多。
到了至大元年的时候，复石担任国子学的督学监丞，在皇庆元年，授予他司业的官职，吴澄用宋朝程颢办学的方式向皇帝提出建议，胡瑗用六种学问教导学生，朱熹教学中的科举考试方法，简称为四条教学方法：一是经史学，二是行为学，三是文艺学，四政务学，每条教学方法，都有明确的规定，非常详细，不厌其烦。
后来因为齐履谦改任佥太史院事的官职，吴澄认为再也没有人和他研究学问了，真是相识遍天下，知音能几人？就向朝廷找借口说，自己身体生病，需要回家休养，学校制度建设的事就稍微放松了下来。
元仁宗爱育黎拔力八达又调任齐履谦担任司业的官职。齐履谦要求自己更加严格，在教学上更加勤奋，曾经创立升斋积分等数学教学内容，以培养数学人才。
国子监学校每年都要考察学生的品行，以决定他们的升迁，如果得以升到上斋的级别，再过一年，就可以参与单独考试了。如果语言流畅，说理透彻，就能获得满分，如果言词平淡，但说理透彻，就可以获得半分，每年累计学分达到八分的，就可以评为高等，限制四十人，额满为止，集贤院及礼部每年都要在国子监学校选拔六个人，作为每年的贡生，予以录用。
国子监学校学生如果不勤奋学习，三年还不熟悉一本经书，以及在学